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求问一道散度的数学题！假设f=f(x,y,z)是润滑函数（无量可导的函数）证实∇×(∇f)=0

标量场的梯度：∇f={df/dx,df/dy,df/dz}，向量场的旋度：∇×F={dF_3/dy-dF_2/dz,dF_1/dz-dF_3/dx,dF_2/dx-dF_1/dy}（我找不到公用符号，这里的d示意偏导数。
）应用润滑函数的混合偏导数可以替换秩序：d^2f/dxdy=d^f/dydx.1.∇×(∇f)=∇×{df/dx,df/dy,df/dz}={d(df/dz)/dy-d(df/dy)/dz,d(df/dx)/dz-d(df/dz)/dx,d(df/dy)/dx-d(df/dx)/dy}={d^2f/dzdy-d^2f/dydz,d^2f/dxdz-d^2f/dzdx,d^2f/dydx-d^2f/dxdy}={0,0,0}2.向量场的散度是个数。
∇·(∇×F)=(d/dx)（dF_3/dy-dF_2/dz）+(d/dy)(dF_1/dz-dF_3/dx),(d/dz)(dF_2/dx-dF_1/dy)=d^2F_3/dydx-d^2F_2/dzdx+d^2F_1/dzdy-d^2F_3/dxdy+d^2F_2/dxdz-d^2F_1/dydz=03.∇×(φF)={d(φF_3)/dy-d(φF_2)/dz,d(φF_1)/dz-d(φF_3)/dx,d(φF_2)/dx-d(φF_1)/dy}=φ{dF_3/dy-dF_2/dz,dF_1/dz-dF_3/dx,dF_2/dx-dF_1/dy}+{F_3(dφ/dy)-F_2(dφ/dz),F_1(dφ/dz)-F_3(dφ/dx),F_2(dφ/dx)-F_1(dφ/dy)}=φ(∇×F)+(∇φ)×F

函数u=x2+y2+z2在椭球面2x2+2y²+2z2=1上哪一点沿哪一个方向的方导游数最大？

首先，依据椭球面的方程，咱们可以获取$x^2+y^2+z^2=\frac{1}{2}$，将其代入函数$u=x^2+y^2+z^2$中，获取$u=\frac{1}{2}$，即函数$u$在椭球面上的取值是一个常数，不随位置变动。
咱们想要求出函数$u$在椭球面上哪一点沿哪一个方向的方导游数最大，可以经常使用定义式：Dv(u)=∇u·v其中∇u是u的梯度向量，示意u在该点的最慷慨导游数的方向，v是单位向量，示意咱们要求的方向。
因为u在椭球面上取值不变，所以∇u在椭球面上的大小也不变，为(2x,2y,2z)，在椭球面上的大小为√((2x)^2+(2y)^2+(2z)^2)=2√(x^2+y^2+z^2)=1。
因此，咱们只有要找到一个单位向量v，使得∇u·v最大。
因为v是单位向量，所以咱们可以经常使用柯西-施瓦茨不等式：|∇u·v|≤|∇u||v|=1等号成立当且仅当v与∇u的方向相反或相反。
因此，∇u的方向就是函数u在椭球面上最大的方导游数的方向，即咱们要找的方向。
因为椭球面是对称的，所以最慷慨导游数的方向可以沿着恣意一个坐标轴。
假定咱们要找的方向为沿着x轴正方向，即v=(1,0,0)，则有：Dv(u)=∇u·v=2x·1=2x在椭球面上，x的取值范畴为[-1/√2,1/√2]，当x=1/√2时，Dv(u)取到最大值，为2/√2=√2。
因此，函数u=x^2+y^2+z^2在椭球面x^2+y^2+z^2=1/2上，沿着(1,0,0)方向的方导游数最大，最大值为√2，此时的点为(1/√2,0,0)。

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